\section{Ejercicio N 3}

Dada la siguiente matriz de precedencia

 \begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |}
      \hline
      \begin{large}\end{large} &
      \begin{large}A\end{large} & 
	  \begin{large}B\end{large} & 
	  \begin{large}C\end{large} & 
	  \begin{large}D\end{large} & 
	  \begin{large}E\end{large} & 
	  \begin{large}F\end{large} & 
	  \begin{large}G\end{large} & 
	  \begin{large}H\end{large} & 
	  \begin{large}I\end{large} & 
	  \begin{large}J\end{large} &
	  \begin{large}K\end{large} &
	  \begin{large}Tiempo\end{large} &
	  \begin{large}Tiempo\end{large} &
	  \begin{large}Costo\end{large} &
	  \begin{large}Costo\end{large}\\
	        \begin{large}\end{large} &
       &  &  &  &  &  &  &  &  &  & &
	  \begin{large}(Semana)\end{large} &
	  \begin{large}M{\'i}nimo\end{large} &
	  \begin{large}({\$})\end{large} &
	  \begin{large}Crash\end{large}\\
	  \hline
	    A & & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & 3 & 2 & 200 & 300 \\
	    
	  \hline
	    B & & & & & 1 & & 1 & & & & & 7 & 6 & 300 & 440 \\
	    
	  \hline
	    C & & & & & & 1 & & & & & & 7 & 5 & 200 & 600 \\
	    
	  \hline
	    D & & & & & & 1 & & & & & & 4 & 2 & 100 & 600 \\
	    
	  \hline
	    E & & & & & & & & 1 & & & & 4 & 2 & 200 & 600 \\
	  
	  \hline
	    F & & & & & & & & & & 1 & 1 & 3 & 1 & 400 & 1000 \\
	    
	  \hline
	    G & & & & & & & & 1 & & & & 4 & 1 & 300 & 1200 \\
	    
	  \hline
	    H & & & & & & & & & & 1 & & 8 & 8 & 300 & - \\
	    
	  \hline
	    I & & & & & & & & & & & & 3 & 2 & 1000 & 2000 \\
	    
	  \hline
	    J & & & & & & & & & & & & 3 & 3 & 200 & - \\
	  
	  \hline
	    K & & & & & & & & & & & & 9 & 6 & 100 & 400 \\
	    
	  \hline
	\end{tabular}
  \end{center}
  
 \vspace{0,5cm}
 
\begin{enumerate}
  \item Hallar el/los caminos críticos y determinar su duración.
  \item Se desea reducir 3 semanas la duración de proyecto, obteniendo por cada semana reducida un beneficio de \$150, indicar si conviene dicha reducción. Justificar la respuesta.

\end{enumerate}

\comandoResolucion\\

\begin{enumerate}
\item
La red para la matriz de precedencia dada.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{redejercicio3}
    \caption{Podemos decir que el proyecto tiene una duración de 25 semanas.}
  \end{center}
\end{figure}
\vspace{0,25cm}
Observamos que los nodos cr{\'i}ticios son: 2, 3, 4, 5, 8, 10. \\
Calculamos los margenes totales para cada nodo cr{\'i}tico.

\begin{center}
$$	MT_{A}=3-0-3=0 $$ \
$$ 	MT_{B}=10-3-7=0 $$ \
$$	MT_{G}=14-10-4=0 $$ \
$$	MT_{E}=14-10-4=0 $$ \
$$	MT_{H}=22-14-8=0 $$ \
$$	MT_{J}=25-22-3=0 $$ \
\end{center}

Las tareas criticas son A, B, G, E, H, J.

Por lo tanto hay dos caminos críticos posibles y son los siguiente: \\
\begin{itemize}
 \item A - B - G - H - J
 \item A - B - E - H - J
\end{itemize}

Y la duración de ambos es de 25 semanas.

\item Reorganizamos los datos.

\begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c |}
      \hline
      Tarea & Duraci{\'o}n & Costo & Camino & Duraci{\'o}n & Costo & $\Delta$t & $\Delta${\$} & $\Delta${\$} / $\Delta$t \\

	  & Normal & ({\$}) & Cr{\'i}tico & Crash & Crash & & & \\

	  \hline
	    A = [1-2] & 3 & 200 & X & 2 & 300 & 1 & 100 & 100 \\ 
	    
	  \hline
	    B = [2-3] & 7 & 300 & X & 6 & 440 & 1 & 140 & 140 \\
	    
	  \hline
	    C = [2-7] & 7 & 200 & & 5 & 600 & 2 & 400 & 200 \\
	    
	  \hline
	    D = [2-6] & 4 & 100 & & 2 & 600 & 2 & 500 & 250 \\
	    
	  \hline
	    E = [3-5] & 4 & 200 & X & 2 & 600 & 2 & 400 & 200 \\
	  
	  \hline
	    F = [7-10] & 3 & 400 & & 1 & 1000 & 2 & 600 & 300 \\
	    
	  \hline
	    G = [3-4] & 4 & 300 & X & 1 & 1200 & 3 & 900 & 300 \\
	    
	  \hline
	    H = [5-8] & 8 & 300 & X & 8 & - & 0 & 0 & 0 \\
	    
	  \hline
	    I = [7-10] & 3 & 1000 & & 2 & 2000 & 1 & 1000 & 1000 \\
	    
	  \hline
	    J = [8-10] & 3 & 200 & X & 3 & - & 0 & 0 & 0 \\
	  
	  \hline
	    K = [9-10] & 9 & 100 & & 6 & 400 & 3 & 300 & 100 \\
	    
	  \hline
	\end{tabular}
  \end{center}
\vspace{0,25cm}
El costo directo total es de {\$}3300.

Elegimos la tarea cr{\'i}tica de menor "$\Delta${\$} / $\Delta$t". Es decir, la tarea A = [1-2].  El costo total será de {\$}3300 + {\$}100 = {\$}3400.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{redejercicio3-a}
    \caption{Observamos que la duraci{\'o}n del proyecto se redujo en una semana(24).  Los caminos cr{\'i}ticos posibles siguen siendo los mismos.}
  \end{center}
\end{figure}
\vspace{0,25cm}

La tarea A = [1-2] se puede reducir una sola vez. Se elige la siguiente tarea cr{\'i}tica de menor "$\Delta${\$} / $\Delta$t".  Es decir, la tarea B = [2-3].  El costo total será de {\$}3400 + {\$}140 = {\$}3540.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{redejercicio3-b}
    \caption{Observamos que la duraci{\'o}n del proyecto se redujo nuevamente en una semana(23).  Los caminos cr{\'i}ticos posibles siguen siendo los mismos.}
  \end{center}
\end{figure}
\vspace{0,25cm}
La tarea B = [2-3] se puede reducir una sola vez. Se elige la siguiente tarea cr{\'i}tica de menor "$\Delta${\$} / $\Delta$t".  Como hay dos caminos cr{\'i}ticos se debe hacer el an{\'a}lisis con las ramas paralelas. Tomo la tarea  E + G = [3-5] + [3-4].   El costo total será de {\$}3540 + {\$}500 = {\$}4040.

Armamos la tabla de costos teniendo en cuenta que por cada semana de reducci{\'o}n ganamos {\$}150:

\begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c | c |}
      \hline
      Duraci{\'o}n & Costo & Costo \\
	   (Semanas) & Directo & con Beneficio \\

	  \hline
	    25 & 3300 & 3300 \\ 
	    
	  \hline
	    24 & 3400 & 3250 \\
	    
	  \hline
	    23 & 3540 & 3240 \\
	    
	  \hline
	    22 & 4040 & 3590 \\

	  \hline
	\end{tabular}
  \end{center}
\vspace{0,25cm}

Conviene reducir la duraci{\'o}n del proyecto en 2 semanas, ya que así estaríamos gastando \$3240, frente a los \$3300 del proyecto sin reducir. Vemos que con una reducción de 3 semanas, el costo total es mucho mayor.

\end{enumerate}
